Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB+$\sqrt{3}$sinB）cosC=1．
（1）求角C的大��；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式、商的關(guān)系化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的正切值求出C；
（2）由題意和三角形的面積公式列出方程，由余弦定理列出方程，聯(lián)立方程求出a，b的值．

解答 解：（1）由題意得，$1+cosA+（cosB+\sqrt{3}sinB）cosC=1$，
又A=π-（B+C），∴$-cos（B+C）+（cosB+\sqrt{3}sinB）cosC=0$，
sinBsinC+$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
因sinB≠0，所以sinC+$\sqrt{3}$cosC=0，∴tanC=$-\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵△ABC的面積為$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
則ab=4，①
又$c=2\sqrt{3}$，∴${a^2}+{b^2}-2ab×（-\frac{1}{2}）=12$，
則（a+b）²-ab=12，解得a+b=4，②
由①②得，解得a=2，b=2．

點評 本題考查了余弦定理，誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式等的應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．