【題目】設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=3ax(x-2),若函數(shù)y=f(x)共有三個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是( 。

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式求出a,bc的關(guān)系以及函數(shù)的解析式,求函數(shù)的極值,根據(jù)極值和零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

∵f(x)=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax,

∴2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,則f(x)=ax3-3ax2+1,

①若a>0,則由f′(x)=3ax(x-2)>0得x>2或x<0,

由f′(x)<0得0<x<2,則函數(shù)在x=0時(shí)取得極大值f(0)=1,

在x=2時(shí),函數(shù)取得極小值f(2)=8a-12a+1=1-4a,

若函數(shù)y=f(x)共有三個(gè)不同的零點(diǎn),則f(2)=1-4a<0,解得a>.

②若a<0,則由f′(x)=3ax(x-2)<0得x>2或x<0,

由f′(x)>0得0<x<2,則函數(shù)在x=0時(shí)取得極小值f(0)=1,

在x=2時(shí),函數(shù)取得極大值f(2)=8a-12a+1=1-4a,

則此時(shí)函數(shù)y=f(x)只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足條件.

綜上a>.

故選:C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μσ2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),P(X1)X的數(shù)學(xué)期望;

(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

經(jīng)計(jì)算得==9.97s==≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,,16.

用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除﹣3+3之外的數(shù)據(jù)用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μσ(精確到0.01).

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.0.997 4160.959 2,0.09.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長,個(gè)人購買家庭轎車已不再是一種時(shí)尚車的使用費(fèi)用,尤其是隨著使用年限的增多,所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長多少,一直是購車一族非常關(guān)心的問題某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查,并統(tǒng)計(jì)得出某款車的使用年限與所支出的總費(fèi)用(萬元)有如表的數(shù)據(jù)資料:

使用年限

2

3

4

5

6

總費(fèi)用

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

(1) 在給出的坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖;

(2)求線性回歸方程中的、;

(3)估計(jì)使用年限為年時(shí),車的使用總費(fèi)用是多少?

(最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為

(1)求圓C的方程;

(2)過點(diǎn)(1,0)作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在直線l,使得∠AOB=90°?若存在,求出所有滿足條件的直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)令上的最小值為,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】橢圓: 的離心率為,拋物線:軸所得的線段長等于.軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線相交于點(diǎn)直線分別與相交于.

(1)求證:;

(2)設(shè),的面積分別為, ,的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求在區(qū)間[-2,4]上的最大值;

(2)當(dāng)時(shí),若在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如表:

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量(萬噸)

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;

,

(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價(jià)格(單位:元)與年產(chǎn)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.

①根據(jù)(1)中所建立的回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2019()年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量;

②當(dāng)為何值時(shí),銷售額最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知下圖中,四邊形 ABCD是等腰梯形, M、交EF于點(diǎn)N ,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,記折起后CD、且使,如圖示.

(Ⅰ)證明: 平面ABFE;,

(Ⅱ)若圖6中, ,求點(diǎn)M到平面的距離.

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