Question

【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

經(jīng)計(jì)算得==9.97，s==≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09.

Answer 1

【答案】(1) P（X≥1）=0.0408， E（X）=0.0416 (2) （ⅰ）監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的，（ⅱ）μ的估計(jì)值為10.02，σ的估計(jì)值為0.09

【解析】試題分析：（1）通過P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論；

（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理；

（ⅱ）通過樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），進(jìn)而需剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，利用公式計(jì)算即得結(jié)論．

試題解析：

（1）由題可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，

則落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9974=0.0026，

因?yàn)镻（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因?yàn)閄～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很�。�因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．

（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為=9.97，σ的估計(jì)值為=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個(gè)

零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

（16×9.97﹣9.22）=10.02，

因此μ的估計(jì)值為10.02．

2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，

剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，

因此σ的估計(jì)值為≈0.09．