Question

【題目】已知公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且數(shù)列是等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，問(wèn)：均為正整數(shù)，且能否成等比數(shù)列？若能，求出所有的和的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) . (2) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．

【解析】

(1)利用的前3項(xiàng)為等差數(shù)列可求出公差，從而可求的通項(xiàng)公式.

(2)假設(shè)成等比數(shù)列，則有，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，從而可判斷出當(dāng)時(shí)，總有，從而無(wú)正整數(shù)解，可檢驗(yàn)滿足要求.

解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.

因?yàn)?/span>，所以，

從而.

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，

即，

化簡(jiǎn)得.

而，所以,故.

(2)假設(shè)存在正整數(shù)組和，使成等比數(shù)列,

則成等差數(shù)列，

于是，所以. （*）

易知滿足（*）.

因?yàn)?/span>，且時(shí)，,

所以數(shù)列(,)為遞減數(shù)列，

于是，

所以，當(dāng)時(shí)，不存在正整數(shù)組和滿足（*）.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．