Question

18．已知$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2\\ 3x-y-6≤0\\ 2x-3y+3≥0\end{array}\right.$，且z=x²+y²，則z的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． 18
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知的約束條件畫(huà)出滿足約束條件的可行域，分析z=x²+y²表示的幾何意義，結(jié)合圖象即可給出z=x²+y²的最小值．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2\\ 3x-y-6≤0\\ 2x-3y+3≥0\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖示：
三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，3）、（0，1）和（2，0），
z=x²+y²表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）距離的平方，
由圖可知|OP|²為z=x²+y²的最小值，此時(shí)z=x²+y²=$（\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}）^{2}$=$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．