Question

19．已知拋物線y²=8x，離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1與它有公共焦點(diǎn)F，若P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則△OPF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)F，可得m+n=4，再由離心率公式可得m=1，n=3，聯(lián)立雙曲線的方程和拋物線的方程，求得交點(diǎn)P，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），
離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，可得
m+n=4，$\frac{m+n}{m}$=4，
解得m=1，n=3，
雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)P（3，±2$\sqrt{6}$），
則△OPF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為
$\frac{1}{2}$|OF|•|y_P|=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及三角形的面積的求法，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．