Question

11．如圖1，直角△ACD中，AD=2AC，AB是斜邊上的高，BE⊥AC，BF⊥AD，沿AB將△ACD折成棱錐A-BCD（圖2），且CD⊥BC．

（Ⅰ） DC⊥BE；
（Ⅱ） 求BF與平面ACD所成的角．

Answer 1

分析 （1）棱錐中的垂直關(guān)系，在平面圖形中分析出來，運用線面垂直的判斷定理，證得CD⊥平面ABC，由線面垂直性質(zhì)，得出DC⊥BE．
（2）由（1）分析位置關(guān)系時，易發(fā)現(xiàn)BE⊥平面ACD，故EF為BF在平面ACD的投影，∠BFE為所求角，再構(gòu)造三角形求解．

解答 （Ⅰ）證明：AB是斜邊上的高，沿AB將△ACD折成棱錐A-BCD，
有AB⊥BC，AB⊥BD，且BC?平面BCD，BD?平面BCD
∴AB⊥平面BCD．   …1分   
又CD?平面BCD
∴AB⊥CD．      …3分
又CD⊥BC，且AB?平面ABC、BC?平面ABC
∴CD⊥平面ABC．      …5分
又∵BE?平面ABC
所以DC⊥BE      …6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥BE，且由題 BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACD． …7分
所以BF在平面ACD內(nèi)的射影就是EF，
∴BF與平面ACD所成的角就是∠BFE，且△BDF為RT△．…8分
∴$sin∠BFE=\frac{BE}{BF}$，…9分
∵在平面圖中$\frac{BE}{BF}=\frac{BE}{AE}=\frac{AC}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$sin∠BFE=\frac{1}{2}$       …11分
∴∠BFE=30°，即BF與平面ACD所成的角為30°．  …12分

點評 本題考查線面垂直的判定定理及性質(zhì)，考查了用幾何法求線面角（找角--證角--求角）．第二問中，發(fā)現(xiàn)EF是BF在平面ACD的投影，是解決第二問的關(guān)鍵．本題屬于中檔題．