14.已知等比數(shù)列{an}滿足:a1=$\frac{1}{2}$,a1,a2,a3-$\frac{1}{8}$成等差數(shù)列,公比q∈(0,1)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (I)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q,${a_1}=\frac{1}{2}$,
∵${a_1},{a_2},{a_3}-\frac{1}{8}$成等差數(shù)列,
∴$2{a_2}={a_1}+{a_3}-\frac{1}{8}$,
即得4q2-8q+3=0,解得q=$\frac{1}{2}$,或q=$\frac{3}{2}$,
又∵q∈(0,1),∴$q=\frac{1}{2}$,∴${a_n}=\frac{1}{2}•{({\frac{1}{2}})^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$.
(Ⅱ)根據(jù)題意得bn=nan=$\frac{n}{2^n}$,${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$,①
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$,②
作差得$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$=$2-(2+n){(\frac{1}{2})^n}$,
Sn=$2-(n+2){(\frac{1}{2})^n}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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5.某工廠進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造,在四個(gè)月的過(guò)程中,其煤炭消耗量(單位:噸)的情況如表:
技術(shù)改造的月份x1234
煤炭消耗量y4.5432.5
顯然煤炭消耗量y與技術(shù)改造的月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系,則其線性回歸方程為( 。
A.$\widehat{y}$=0.7x+5.25B.$\widehat{y}$=-0.6x+5.25C.$\widehat{y}$=-0.7x+6.25D.$\widehat{y}$=-0.7x+5.25

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2.一臺(tái)風(fēng)中心于某天中午12:00在港口O的正南方向,距該港口200$\sqrt{2}$千米的海面A處形成(如圖),并以每小時(shí)a千米的速度向北偏東45°方向上沿直線勻速運(yùn)動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心100$\sqrt{5}$千米以內(nèi)的范圍將受到臺(tái)風(fēng)的影響,請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
(1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心離港口O距離最近時(shí),求該臺(tái)風(fēng)所影響區(qū)域的邊界曲線方程;
(2)若港口O于當(dāng)天下午17:00開始受到此臺(tái)風(fēng)的影響,
(i)求a的值;
(ii)求港口O受該臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間段的長(zhǎng).

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9.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知$\frac{c}{cosC}$=$\frac{4a-b}{cosB}$
(1)求cosC的值;
(2)若c=$\sqrt{3}$,△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,求a,b的值.

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19.已知拋物線y2=8x,離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1與它有公共焦點(diǎn)F,若P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則△OPF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為(  )
A.$\sqrt{6}$B.2$\sqrt{6}$C.3D.6

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6.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=log2(x+1)+log2(x-1)是非奇非偶函數(shù);
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(3)f(x)=log2(x+1)+log2(1-x)是偶函數(shù);
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3.拋物線4y2=x的準(zhǔn)線方程為( 。
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