【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，平面，平面，， .

（1）當(dāng)長為多少時，平面平面？

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量垂直列方程組，解得各面法向量，根據(jù)平面垂直得兩法向量數(shù)量積為零，解得長，（2）利用方程組先解出各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.

試題解析：（1）連接BD交AC于點O，則AC⊥BD.

取EF的中點G，連接OG，則OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.

∴OG，AC，BD兩兩垂直.

∴以AC，BD，OG所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

設(shè)，

由題意，易求，

∴，

設(shè)平面AEF，平面CEF的法向量分別為，

由，，得，∴

解得. 令，∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF，則，

∴，

解得或（舍），

即BF長為時，平面AEF⊥平面CEF.

（2）當(dāng)時，，

∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，

∴EF⊥平面AFC，

∴平面AFC的一個法向量為，

設(shè)平面AEC的一個法向量為，則

，∴，得，

令，得，∴.

從而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.

(1)求該出租車公司的司機參加“愛心送考”的人均次數(shù)；

(2)從這200名司機中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對值為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若的圖像在直線下方，求b的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上的最小值為0，求實數(shù)m的值．

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【題目】某地公共電汽車和地鐵按照里程分段計價，具體如下表：

乘公共電汽車方案

10公里（含）內(nèi)2元；

10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）

乘坐地鐵方案

6公里（含）內(nèi)3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）

已知在一號線地鐵上，任意一站到站的票價不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐一號線地鐵，且在站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示.

（Ⅰ）如果從那些只乘坐一號線地鐵，且在站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；

（Ⅱ）已知選出的120人中有6名學(xué)生，且這6名學(xué)生中票價為3、4、5元的人數(shù)分別為3，2，1人，現(xiàn)從這6人中隨機選出2人，求這2人的票價和恰好為8元的概率；

（Ⅲ）小李乘坐一號線地鐵從地到站的票價是5元，返程時，小李乘坐某路公共電汽車所花交通費也是5元，假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為公里，試寫出的取值范圍.

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【題目】如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求證：BC⊥平面PAC；

(2)當(dāng)D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；

(3)是否存在點E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．

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【題目】在一次詩詞知識競賽調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手分為兩個年齡（單位:歲）段：，，其中答對詩詞名句與否的人數(shù)如圖所示.

（1）完成下面2×2列聯(lián)表；

年齡段

正確

錯誤

合計

合計

（2）是否有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關(guān)，請說明你的理由；

（3）現(xiàn)按年齡段分層抽樣選取6名選手，若從這6名選手中選取3名選手，求3名選手中年齡在歲范圍人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】點分別是正方體的棱的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________（寫出所有真命題的編號）．

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形；②點在直線上運動時，總有；③點在直線上運動時，三棱錐的體積的定值；④若點是正方體的面內(nèi)的一動點，且到點和距離相等，則點的軌跡是一條線段．

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【題目】已知函數(shù).

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