Question

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，c=(

3

，-1)，其中x∈R．
（1）當(dāng)a•b=

1

2

時(shí)，求x值的集合；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（a-c）²，①求f（x）的最小正周期；②寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；③寫出函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)量積公式將向量方程這形為三角方程，再由三角恒等變換公式化簡，解出x值的集合；
（2）由數(shù)量積公式求出f（x）的三角表達(dá)式，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，將其變?yōu)閥=Asin（ωx+φ）的形式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cos

3x

2

•cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=

1

2

∴2x=2kπ±

π

3

，x=kπ±

π

6

(k∈z)∴x的集合是{x|x=kπ±

π

6

(k∈z)}…（4分）
（2）∵

a

-

c

=(cos

3x

2

-

3

，sin

3x

2

+1)
∴f(x)=(cos

3x

2

-

3

)2+(sin

3x

2

+1)2=2+3-2

3

cos

3x

2

+2sin

3x

2

=5+4(

1

2

sin

3x

2

-

3

2

cos

3x

2

)=5+4sin(

3x

2

-

π

3

)…（8分）
①最小正周期T=

2π

3 2

=

4

3

π…（9分）
②2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

即2kπ-

π

6

≤

3

2

x≤2kπ+

5π

6

4

3

kπ-

π

9

≤x≤

4

3

kπ+

5

9

π(k∈z)
∴增區(qū)間是[

4

3

kπ-

π

9

，

4

3

kπ+

5π

9

](k∈z)…（12分）
③對稱軸方程是x=

2

3

kπ+

5π

9

(k∈z)…（14分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用性質(zhì)求周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸等，本題是三角與向量結(jié)合的綜合題，知識(shí)性強(qiáng)，考查全面，是三角函數(shù)在高考試卷上出現(xiàn)的主要形式，題后應(yīng)好好總結(jié)此題在解法上的邏輯脈絡(luò)及解題順序．