精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】從偶函數的定義出發(fā)，證明函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于軸對稱.

【答案】證明見詳解.

【解析】

根據是偶函數的定義，從充分性和必要性兩個方面進行推導即可.

不妨設的定義域為，

先證，若函數是偶函數，則它的圖象關于軸對稱.

因為是偶函數，即對任意的恒成立，

任取上的一點為，因為，

故點均在的圖象上，

又該兩點關于軸對稱，且具有任意性，

即對函數上的任意一點，其關于軸對稱的點也一定在上，

即的圖象關于軸對稱，即證；

再證：若的圖象關于軸對稱，則是偶函數.

因為的圖象關于軸對稱，

故對圖象上的任意一點，其關于軸的對稱點一定也在上.

故點滿足的解析式，也即，

又因為具有任意性，故對任意的恒成立.

也即是偶函數.即證.

綜上所述：函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于軸對稱.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中不正確的是（ ）﹒

A.平面PACB.C.D.平面平面PBC

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統(tǒng)計數據如下：

收看

沒收看

男生

60

20

女生

20

20

(Ⅰ)根據上表說明，能否有的把握認為，收看開幕式與性別有關？

(Ⅱ)現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.

(ⅰ)問男、女學生各選取多少人？

(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.

附：，其中.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】 2013年春節(jié)前，有超過20萬名來自廣西、四川的外來務工人員選擇駕乘摩托車沿321國道返鄉(xiāng)過年，為防止摩托車駕駛人員因長途疲勞駕駛而引發(fā)交通事故，肇慶市公安交警部門在321國道沿線設立了多個休息站，讓過往的摩托車駕駛人員有一個停車休息的場所.交警小李在某休息站連續(xù)5天對進站休息的駕駛人員每隔50輛摩托車就對其省籍詢問一次，詢問結果如圖所示：

（1）交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的是什么抽樣方法?

（2）用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛人員進行抽樣，若廣西籍的有5名，則四川籍的應抽取幾名?

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知關于不等式的解集為.

(1)當為空集時,求的取值范圍；

(2)在(1)的條件下,求的最小值；

(3)當不為空集,且時，求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若BA，求實數a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式，對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價格低廉，各色共享單車受到人們的熱捧．某自行車廠為共享單車公司生產新樣式的單車，已知生產新樣式單車的固定成本為20 000元，每生產一輛新樣式單車需要增加投入100元．根據初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數 其中x是新樣式單車的月產量(單位：輛)，利潤＝總收益－總成本．

(1)試將自行車廠的利潤y元表示為月產量x的函數；

(2)當月產量為多少件時自行車廠的利潤最大？最大利潤是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。

（1）分別寫出兩類產品的收益與投資額的函數關系式；

（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其最大收益為多少萬元？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案