已知直線y=x與函數(shù)g（x）=
1
x
（x＞0）的圖象交于點Q，若P，M分別是直線y=x與函數(shù)g（x）=
1
x
（x＞0）的圖象上異于點Q的兩點，若對于任意點M，有|PM|≥|PQ|恒成立，則點P橫坐標的取值范圍是
 
．
考點：函數(shù)的圖象
專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用
分析：作圖輔助，易知Q（1，1），設P（p，p），則M（m，
1
m
），（p≠1，m≠1，m＞0）；從而求出|PM|=
(m-p)2+(
1
m
-p)2
，|PQ|=
(p-1)2+(p-1)2
；從而化為p≤
m2+
1
m2
-2
2(m+
1
m
-2)
恒成立；從而解得．
解答： 解：如圖，易知Q（1，1），設P（p，p），則M（m，
1
m
），（p≠1，m≠1，m＞0）；
則|PM|=
(m-p)2+(
1
m
-p)2
，
|PQ|=
(p-1)2+(p-1)2
；
則|PM|≥|PQ|可化為
(m-p)2+(
1
m
-p)2
≥
(p-1)2+(p-1)2
；
化簡得，m2+
1
m2
-2（m+
1
m
）p≥2-4p；
即p≤
m2+
1
m2
-2
2(m+
1
m
-2)
恒成立；
m2+
1
m2
-2
2(m+
1
m
-2)
=
m+
1
m
+2
2
＞
2+2
2
=2；
故p≤2；
又∵P、Q互異，
∴p≤2且p≠1；
故答案為：p≤2且p≠1．
點評：本題考查了學生的作圖分析的能力及基本不等式及恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=2x+m與圓（x+2）2+y2=
1
5
和拋物線y2=2px（p＞0）都相切，求P的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P（2，0）且斜率為k1的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，直線AF、BF分別與拋物線交于點M、N．
（Ⅰ）證明
OA
•
OB
的值與k1無關；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k2，證明
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設an=2n-1，bn=2n-1（n∈Nn），求數(shù)列{
an
bn
}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）．若f（x）在區(qū)間[
π
6
，
π
2
]上具有單調(diào)性，且f（
π
2
）=f（
2π
3
）=-f（
π
6
），則f（x）的最小正周期為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且a1+a2+a3=7，S6=63．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn．
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下結論：
①?x∈（-1，1）有f（-x）=f（x）
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）
③?x1，x2∈（-1，1），有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0
④?x1，x2∈（0，1），有f（
x1+x2
2
）≤
f(x1)+f(x2)
2
．
上述結論中正確的個數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC且AD=
1
2
BC，AC與BD相交于O，設
AB
=
a
，
DC
=
b
，用
a
，
b
表示
BO
，則
BO
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n+
n2
n2+2015
(x+1)，其中n∈N*，當n=1，2，3，…時，fn（x）的零點依次記作x1，x2，x3，…，則
lim
n→∞
xn=
 
．

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