已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)，
（1）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（3）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．
（1）f′（x）=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=0，即a2-2a=0，解得a=0或2；（3分）
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=
1
3
-a+a2-1+b又f′（1）=-1，
∴1-2a+a2-1=-1∴a2-2a+1=0，
解得a=1，b=
8
3
∴f(x)=
1
3
x2-x2+
8
3
，f′(x)=x2-2x
由f′（x）=0可知x=0和x=2是極值點(diǎn)．
∵f(0)=
8
3
，f(2)=
4
3
，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．（8分）
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，
所以函數(shù)f′（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)．
而f′（x）=0的兩根為a-1，a+1，區(qū)間長(zhǎng)為2，
∴在區(qū)間（-1，1）上不可能有2個(gè)零點(diǎn)．
所以f′（-1）f′（1）＜0，∵a2＞0，
∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，∴a∈（-2，0）∪（0，2）．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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