Question

20．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），直線C的極坐標方程為ρsinθ=1，射線θ=φ，θ=$\frac{π}{4}$+φ（φ∈[0，π]）與曲線C₁分別交異于極點O的兩點A，B．
（I）把曲線C₁和C₂化成直角坐標方程，并求直線C₂被曲線C₁截得的弦長；
（II）求|OA|²+|OB|²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標方程，并求直線C₂被曲線C₁截得的弦長；
（II）|OA|²+|OB|²=8sin²（φ+$\frac{π}{4}$）+8cos²φ=4$\sqrt{2}$sin（2φ+$\frac{π}{4}$）+8，即可求|OA|²+|OB|²的最小值．

解答 解：（I）曲線C₁的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），∴ρ=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2為圓C的直角坐標方程；
直線C₂的極坐標方程為ρsinθ=1，直角坐標方程為y=1
y=1，x=1±$\sqrt{2}$，∴直線C₂被曲線C₁截得的弦長=2$\sqrt{2}$-----------------（4分）
（II）|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+φ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$cosφ--（6分）
|OA|²+|OB|²=8sin²（φ+$\frac{π}{4}$）+8cos²φ=4$\sqrt{2}$sin（2φ+$\frac{π}{4}$）+8，
∵φ∈[0，π]，
∴2φ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
∴|OA|²+|OB|²的最小值為8-4$\sqrt{2}$---（10分）

點評 本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，考查三角函數(shù)知識的運用，屬于中檔題．