Question

3．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差數(shù)列，且公差相等，則S₁₀₀=（　　）

• A． 50
• B． 100
• C． 1500
• D． 2500

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差都為d，從而可得$\sqrt{{a}_{1}}$+d=$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{1}+d}$，化簡可得a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$d+d²=2a₁+d，再由a₁+4$\sqrt{{a}_{1}}$d+4d²=3a₁+3d，從而可得d（2d-1）=0，從而解得．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差都為d，
則$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d=$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{1}+d}$，
兩邊平方可得，a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$d+d²=2a₁+d，
同理可得，a₁+4$\sqrt{{a}_{1}}$d+4d²=3a₁+3d，
聯(lián)立消a₁可得：d（2d-1）=0，
故d=0或d=$\frac{1}{2}$，
故d=0時，a₁=0，故不成立；
當(dāng)d=$\frac{1}{2}$時，a₁=$\frac{1}{4}$，成立；
故S₁₀₀=100a₁+$\frac{100×99}{2}$×d
=100（$\frac{1}{4}$+$\frac{99}{4}$）=2500，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了方程的思想的應(yīng)用，屬于中檔題．