Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線與直線垂直.

（1）試比較與的大小，并說明理由；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件，即可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可知的解析式和導(dǎo)數(shù)，求解單調(diào)區(qū)間，可得，即可得到與的大��；（2）運(yùn)用分析法證明，不妨設(shè)，由根的定義化簡可得，，要證：只需要證： ，求出，即證，令，即證，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證.

（1）函數(shù)，，

所以，

又由切線與直線垂直，

可得，即，解得，

此時，

令，即，解得，

令，即，解得，

即有在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

所以

即

（2）不妨設(shè)，

由條件：

，

要證：只需要證：，

也即為，由

只需要證：，

設(shè)即證：，

設(shè)，則

在上是增函數(shù)，故，

即得證，所以.