Question

17．已知a＞0，函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x∈[1，2]）的圖象的兩個端點分別為A、B，設(shè)M是函數(shù)f（x）圖象上任意一點，過M作垂直于x軸的直線l，且l與線段AB交于點N，若|MN|≤1恒成立，則a的最大值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由A、B的坐標可以將直線l的方程找到，通過M點坐標可以得到N的坐標，將其縱坐標做差可以得到關(guān)于a的不等式，通過求范圍可以將絕對值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值．

解答 解：∵f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x∈[1，2]），a＞0，
∴A（1，1-a），B（2，2-$\frac{a}{2}$）
∴直線l的方程為y=（1+$\frac{a}{2}$）（x-1）+1-a
設(shè)M（t，t-$\frac{a}{t}$）
∴N（t，（1+$\frac{a}{2}$）（t-1）+1-a）
∵|MN|≤1恒成立
∴|（1+$\frac{a}{2}$）（t-1）+1-a-（t-$\frac{a}{t}$）|≤1恒成立
∴|a$\frac{{t}^{2}-3t+2}{2t}$|≤1
∵g（t）=t²-3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立
∴-a$\frac{{t}^{2}-3t+2}{2t}$≤1
①t=1或t=2時，0≤1恒成立．
②t∈（1，2）時，a≤$\frac{-2t}{{t}^{2}-3t+2}$=$\frac{-2}{t+\frac{2}{t}-3}$
∴由基本不等式得：a≤$\frac{-2}{2\sqrt{2}-3}$=4$\sqrt{2}$+6
此時t=$\sqrt{2}$
∴a的最大值為6+4$\sqrt{2}$

點評 本題考查通過兩點坐標求直線l方程，去絕對值，以及由基本不等式確定a的范圍．