Question

12．在公差d不為零的等差數(shù)列{a_n}中，若a₁=2，且a₃是a₁，a₉的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比中項可${{a}_{3}}^{2}$=a₁•a₉，結(jié)合a₁=2解方程可知公差d=2，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{2n•（{2n+2}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₃是a₁，a₉的等比中項，{a_n}是等比數(shù)列，
∴${{a}_{3}}^{2}$=a₁•a₉，即$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+8d），
又∵a₁=2，
∴（2+2d）²=2•（2+8d），
化簡得：d²-2d=0，
又∵d≠0，
∴d=2，
∴a_n=2n；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{2n•（{2n+2}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{n}{{4（{n+1}）}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．