Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+y²-6x+5=0，點(diǎn)A，B在圓上，且AB=2$\sqrt{3}$則|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|的取值范圍是[4，8]．

Answer 1

分析 本題可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過坐標(biāo)關(guān)系，將$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$得到M點(diǎn)的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最值，得到本題答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圓心C（3，0），半徑CA=2．
∵點(diǎn)A，B在圓C上，AB=2$\sqrt{3}$，
∴CA²-CM²=（$\frac{1}{2}$AB）²，
即CM=1．
點(diǎn)M在以C為圓心，半徑r=1的圓上．
∴OM≥OC-r=3-1=2，OM≤OC+r=3+1=4．
∴2≤|$\overrightarrow{OM}$|≤4，
∴4≤|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|≤8．
故答案為：[4，8]．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想，可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過坐標(biāo)關(guān)系，將$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$得到M點(diǎn)的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最值，得到本題答案．