Question

12．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值．即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米--75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．某市環(huán)保局從市區(qū)今年9月每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，按系統(tǒng)抽樣方法抽取了某6天的數(shù)據(jù)作為樣本，其監(jiān)測值如莖葉圖所示．
（l）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值和方差；
（2）從所抽樣的6天中任意抽取三天，記ξ表示抽取的三天中空氣質量為二級的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用莖葉圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．
（2）由莖葉圖可知，所抽樣的6天中有2天空氣質量為一級，有4天空氣質量為二級，則ξ可能取的值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（26+30+36+44+50+60）=41
s²=$\frac{1}{6}$×[（26-41）²+（30-41）²+（36-41）²+（44-41）²+（50-41）²+（60-41）²]=137…（4分）
根據(jù)樣本估計今年9月份該市區(qū)每天PM2.5的平均值為：41微克/立方米，方差為137．…（5分）
（2）從莖葉圖知，所抽樣的6天中有2天空氣質量為一級，有4天空氣質量為二級，則ξ可能取的值為1，2，3，
其中P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2•C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴Eξ=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2
∴ξ的數(shù)學期望為2．…（12分）

點評 本題考查平均數(shù)和方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．