Question

以下正確命題的序號為

 

①命題“存在x₀∈R，2 x0≤0”的否定是：“不存在 x₀∈R，2 x0＞0”；
②函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

4

）^x的零點在區(qū)間（

1

4

，

1

3

） 內(nèi)；
③若函數(shù)f（x） 滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）═1023；
④函數(shù)f（x）=e^-x-e^x切線斜率的最大值是2．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：①利用命題的否定即可判斷出；
②由于f(

1

4

)=(

1

4

)

1

3

-(

1

4

)

1

4

＜0，f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

4

)

1

3

＞0，及f（x）在R上單調遞增，即可判斷出；
③若函數(shù)f（x） 滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），數(shù)列{f（n）}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
④由于f′（x）=-（e^-x+e^x）≤-2

e-x•ex

=-2，函數(shù)f（x）=e^-x-e^x切線斜率的最大值是-2．

解答： 解：①命題“存在x₀∈R，2 x0≤0”的否定是：“?x₀∈R，2 x0＞0”，因此不正確；
②函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

4

）^x，∵f(

1

4

)=(

1

4

)

1

3

-(

1

4

)

1

4

＜0，f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

4

)

1

3

＞0，及f（x）在R上單調遞增，因此零點在區(qū)間（

1

4

，

1

3

） 內(nèi)，正確；
③若函數(shù)f（x） 滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），∴數(shù)列{f（n）}為等比數(shù)列，∴f（n）=f（1）×2^n-1=2^n-1，
則f（1）+f（2）+…+f（10）═

210-1

2-1

=1023；
④f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^-x+e^x）≤-2

e-x•ex

=-2，函數(shù)f（x）=e^-x-e^x切線斜率的最大值是-2，因此不正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題綜合查了簡易邏輯的判定、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調性、函數(shù)零點的判定方法、基本不等式的性質、導數(shù)的幾何意義、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．