Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判斷 f （x₁）和f （x₂）的大小，并給出證明．

Answer 1

（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，+∞），
∵
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

（Ⅱ）先探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（i）當(dāng)0≤x₁＜x₂時(shí)
=
∵0≤x₁＜x₂∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（ii）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù) ，則（i）當(dāng)0≤x₁＜x₂，
f（x₁）＜f（x₂），（ii）當(dāng)x₁＜x₂＜0，f （x₁）＜f （x₂），
（iii）當(dāng)x₁＜0≤x₂，總有 f（x₁）＜f（x₂），
綜上所述當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有 f（x₁）＜f（x₂）．
分析：（Ⅰ）先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
（Ⅱ）先證明f（x）在∈[0，+∞）上是增函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)證明在∈（-∞，0）上也是增函數(shù)，
從而總有 f（x₁）＜f（x₂）．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性，基本性質(zhì)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查邏輯推理能力．