Question

【題目】若對于定義在上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對任意的實數(shù)成立，則稱是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.

（1）試判斷函數(shù)是否是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說明理由；

（2）已知是回旋函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）若回旋函數(shù)（）在恰有100個零點，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù);（2）， ;（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)“回旋函數(shù)”、“階數(shù)”的定義，只需證明即可；（2）是階回旋函數(shù)，則恒成立，由三角函數(shù)的值域可知，然后解簡單的三角方程即可得結(jié)果；（3）根據(jù)“回旋函數(shù)”的定義可得， ，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性結(jié)合圖象即可得結(jié)果.

試題解析：（1） ，

函數(shù)是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù).

（2）設(shè)是階回旋函數(shù)，則，

若，上式對任意實數(shù)均成立；

若， ，由三角函數(shù)的值域可知，

當時，對任意實數(shù)有；

則， ，所以.

當時，對任意實數(shù)有；

則， ，所以， .

綜上所述： ， .

（3） ，對任意的都成立.

由（2）可知， ， ， .

令，解得（）.

函數(shù)在恰有100個零點， ，

.又， ，

.