Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），求M（a）的表達(dá)式；
（3）若，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上為減函數(shù)…（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為
∴函數(shù)f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)…（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向下，對稱軸為
∴函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)…（6分）
（2）∵，又，得
當(dāng)，即時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5，當(dāng)，即時(shí)，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=…（8分）
（3）∵，∴
∴
當(dāng)時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5，∴
當(dāng)時(shí)，M（a）=f（1）=a-1，∴…（12分）
∴…（13分）
分析：（1）對參數(shù)a進(jìn)行討論，分一次函數(shù)、二次函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）配方，確定函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到M（a）的表達(dá)式；
（3）先確定，再利用（2）的結(jié)論，即可求得g（a）的表達(dá)式．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．