Question

17．已知方程x²+x+k=0有兩虛根α、β，且|α一β|=$\sqrt{3}$．求：
（1）實數(shù)k的值；
（2）α、β在復(fù)平面上對應(yīng)的兩個向量之間的夾角．

Answer 1

分析 （1）先將兩個虛根設(shè)出，然后分別利用韋達(dá)定理和滿足的條件即可求的實部和虛部的值進(jìn)而獲得方程的兩虛根，再由韋達(dá)定理即可求的k的值；
（2）根據(jù)向量的夾角公式代入求出即可．

解答 解：（1）設(shè)α=x+yi（x，y∈R），則β=x-yi；△=1-4k＜0
∴k＞$\frac{1}{4}$；α+β=2x=-1，∴x=-$\frac{1}{2}$；|α-β|=2|y|=$\sqrt{3}$，∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以兩根分別為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
又αβ=k
∴k=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，
（2）設(shè)α對應(yīng)的向量為$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
β對應(yīng)的向量為$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴夾角是120°．

點評 本題考查復(fù)數(shù)方程的解法，解答中充分體現(xiàn)了方程虛根的求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用．值得同學(xué)們體會反思．