Question

16．（文）二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[t，t+2]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求解．由二次函數(shù)可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，從而問(wèn)題解決；
（2）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x²-3x+1-m＞0在[t，t+2]上恒成立．設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，討論區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，即有2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．
即x²-3x+1-m＞0在[t，t+2]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，
①當(dāng)t＞1.5時(shí)，g（x）在[t，t+2]遞增，
可得最小值為g（t）=t²-3t+1-m＞0，
此時(shí)，m＜t²-3t+1；
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，g（x）最小值為g（1.5）=-m-$\frac{5}{4}$＞0，
此時(shí)，m＜-$\frac{5}{4}$；
③當(dāng)t＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）在[1，2]遞減，
可得g（x）最小值為g（t+2）=t²+t-1-m＞0
此時(shí)m＜t²+t-1．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．