Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，且a₁=q＞1，數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|．，若數(shù)列{b_n}的前m項和為340，則m的值為8或9．

Answer 1

分析 由2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，可得2a_n+2a_n+2=5a_n+1，2+2q²=5q，且a₁=q＞1，解得a₁=q=2．可得b_n=2ⁿ•|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|，對n分類討論即可得出．

解答 解：由2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，∴2a_n+2a_n+2=5a_n+1，∴2+2q²=5q，且a₁=q＞1，
解得a₁=q=2．
∴a_n=2ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|．∴b_n=2ⁿ•|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|，
∴b_2n-1=2^2n-1•|sin（nπ）|=0，b_2n=2²ⁿ$|sin\frac{（2n+1）π}{2}|$=2²ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}的前m項和為340，假設m=2n．
∴b₂+b₄+…+b_2n=2²+2⁴+…+2²ⁿ=340，
∴$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=340，解得n=4．
∴m=8．
∵a₉=0．
∴m=9時也滿足條件．
∴m=8或9．
故答案為：8或9．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．