Question

9．將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是$\frac{1}{2}$．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口處依次放入4個小球，記ξ為落入A袋中的小球個數，試求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，而小球落入B袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，由此利用對立事件概率計算公式能求出小球落入A袋中的概率．
（2）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且隨機變量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），由此能出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，
則事件A的對立事件為B，
而小球落入B袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（B）=（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{4}$，
從而小球落入A袋中的概率P（A）=1-P（B）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且隨機變量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），
故P（ξ=0）=（$\frac{1}{4}$）⁴=$\frac{1}{256}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{3}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}（\frac{1}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=4）=（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{256}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{81}{256}$

∵ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），∴Eξ=4×$\frac{3}{4}$=3．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件、二項分布的性質的合理運用．