Question

【題目】如圖，在多面體中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，.

(1)求證：平面；

(2)求平面與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)及平面平面可得平面,即,取的中點,連接,可證得,即可求證；

（2）以為原點,以所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,由（1）可得為平面的一個法向量,再求得平面的一個法向量,進而利用余弦定理求解即可.

（1）證明:正方形,,

又平面平面,平面平面,平面,

平面,

平面,,

取的中點,連接,易得四邊形為正方形,,

則,即,

又,則平面.

（2）且,,

又平面,易知兩兩垂直,

以為原點,以所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,

易得,則,,

由（1）得為平面的一個法向量,

令為平面的一個法向量,則,得,

不妨令,則,故,

令所求二面角為,則,

則