Question

2．小明同學(xué)在籃球場上做定點(diǎn)投籃游戲，已知他在A區(qū)投中的概率為$\frac{3}{4}$，在B區(qū)投中的概率為$\frac{2}{3}$，在C區(qū)投中的概率為$\frac{1}{2}$，假設(shè)他在各區(qū)投籃是否投中的事件相互獨(dú)立，且他在A，B，C區(qū)各投籃一次
（Ⅰ）求小明至少投中2次的概率
（Ⅱ）用隨機(jī)變量η表示該同學(xué)投中次數(shù)，求η的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 記小明在A區(qū)投中為事件A，在B區(qū)投中為事件B，在C區(qū)投中為事件C，
則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）由互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）由題意可知，η的所有可能取值為0，1，2，3．分別求其概率，可得η的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：記小明在A區(qū)投中為事件A，在B區(qū)投中為事件B，在C區(qū)投中為事件C，
則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）小明至少投中2次的概率P=P（$AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC+ABC$）
=P（AB$\overline{C}$）+P（$A\overline{B}C$）+P（$\overline{A}BC$）+P（ABC）
=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{24}$；
（Ⅱ）由題意可知，η的所有可能取值為0，1，2，3．
P（η=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$．
P（η=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
P（η=2）=1-$\frac{1}{24}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{11}{24}$．
P（η=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
∴η的分布列為：

η	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

數(shù)學(xué)期望E（η）=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查對立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用，是中檔題．