Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）≤0，則$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影長度取值范圍是$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow$|cosθ≤2．

Answer 1

分析 根據平面向量的運算性質求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍，再求$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向的投影取值范圍．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）≤0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$≤0，
∴16-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3×4≤0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥2，
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向的投影是|$\overrightarrow$|cosθ=|$\overrightarrow$|×$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$≥$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
又∵cosθ≤1，∴|$\overrightarrow$|cosθ≤2，
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影長度取值范圍是$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow$|cosθ≤2．
故答案為：$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow$|cosθ≤2．

點評 本題考查了平面向量數量積的運算與應用，也考查了向量投影的計算問題，是中檔題．