Question

6．給出下列命題：①若x∈R，則x+$\frac{1}{x}$≥2；②若a＞0，b＞0，則lga+lgb≥2$\sqrt{lga•lgb}$；③若a＜0，b＜0，則ab+$\frac{1}{ab}$≥2；④不等式$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2成立的條件是x＞0且y＞0．其中正確命題的序號是③．

Answer 1

分析 ①x＜0時，x+$\frac{1}{x}$≤-2，不成立；
②1＞a＞0，1＞b＞0，則lga+lgb＜0，不成立；
③若a＜0，b＜0，ab＞0，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤；
④不等式$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2成立的條件是xy＞0，即可判斷出正誤．

解答 解：①x＜0時，x+$\frac{1}{x}$≤-2，因此不成立；
②1＞a＞0，1＞b＞0，則lga+lgb＜0，因此不成立；
③若a＜0，b＜0，ab＞0，則ab+$\frac{1}{ab}$≥2，正確；
④不等式$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2成立的條件是xy＞0，因此不正確．
其中正確命題的序號是③．
故答案為：③．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．