Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，若f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1），則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，4]
• B． [$\frac{1}{4}$，2]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得3${log}_{\frac{1}{8}}$a=$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$=-log₂a，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），進而有f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1）⇒2f（|log₂a|）≥2f（1），結(jié)合函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，則有|log₂a|≤1，即-1≤log₂a≤1，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且3${log}_{\frac{1}{8}}$a=$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$=-log₂a，
則f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
則f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=2f（log₂a）=2f（|log₂a|），
f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1）⇒2f（|log₂a|）≥2f（1），
又由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
則有|log₂a|≤1，即-1≤log₂a≤1，
解可得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
即a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，關(guān)鍵是得到關(guān)于a的不等式．