【題目】已知函數(shù)fxxR

1)若fx)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;

2)當(dāng)a0時,不等式fsinxcosx)﹣f4+t≥0對任意的x恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;

3)當(dāng)a0時,關(guān)于x的方程在區(qū)間[12]上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】1a;(2)(];(3)(log4]

【解析】

1)根據(jù)fx)是偶函數(shù),有f(﹣x)=fx),得log22x+1+a(﹣x)=log22x+1+ax化簡求解.

2)由a0,結(jié)合對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)fx)=log22x+1+ax是增函數(shù),然后利用單調(diào)性的定義,將不等式fsinxcosx)﹣f4+t≥0,轉(zhuǎn)化為sinxcosx≥4+t,對任意的x恒成立,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

3)根據(jù)題意,有 f0)=1,將方程f[fx)﹣a1+x)﹣1og42x1]1,轉(zhuǎn)化為f[fx)﹣a1+x)﹣1og42x1]f0).再利用函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為變形為:1og4a,通過函數(shù)gx)的圖象與ya2個交點(diǎn)求解.

1)根據(jù)題意,若fx)是偶函數(shù),則f(﹣x)=fx),

則有log22x+1+a(﹣x)=log22x+1+ax,變形可得2axlog22x+1)﹣log22x+1)=﹣x,

解得a

2)當(dāng)a0時,函數(shù)ylog22x+1)和函數(shù)yax都是增函數(shù),則函數(shù)fx)=log22x+1+ax為增函數(shù),

∵不等式fsinxcosx)﹣f4+t≥0,所以ff4+t)對任意的x恒成立

sinxcosx≥4+t,對任意的x恒成立;

t≤2sinx)﹣4對任意的x恒成立;

t2sinx)﹣4min,x;

x,得x[],

∴當(dāng)x時,sinx)﹣4的最小值為4;

t;故t的取值范圍為(]

3)根據(jù)題意,函數(shù)fx)=log22x+1+ax,有f0)=1,

f[fx)﹣a1+x)﹣1og42x1]1f[fx)﹣a1+x)﹣1og42x1]f0).

又由當(dāng)a0時,函數(shù)fx)=log22x+1+ax為增函數(shù),

則有fx)﹣a1+x)﹣1og42x1)=0,

log22x+1)﹣1og42x1)=a,

變形可得:1og4a,設(shè)gx)=1og4,

若方程f[fx)﹣a1+x)﹣1og42x1]1在區(qū)間[12]上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解,則函數(shù)gx)的圖象與ya2個交點(diǎn),

對于gx)=1og4,設(shè)hx,則hx2x14

又由1≤x≤2,則1≤2x1≤3,則hxmin8,h1)=9,h2,則hxmax9,

若函數(shù)gx)的圖象與ya2個交點(diǎn),

必有log48a≤log4

a的取值范圍為(,log4]

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