Question

7．如圖，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，當點P在圓x²+y²=4上運動時，點M形成的軌跡為L．
（1）求軌跡L的方程；
（2）已知定點E（-2，0），若直線y=kx+2（k≠0）與點M的軌跡L交于A，B兩點，問：是否存在實數(shù)k，使以AB為直徑的圓過點E？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點M在DP的延長線上，$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，確定M，P坐標之間的關系，P的坐標代入圓的方程，即可求動點M的軌跡E的方程； 
（2）若存在k的值，使以AB為直徑的圓過M點，則EA⊥EB，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0，構造方程求出k值即可．

解答 解：（1）設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），
則x₀=x，y₀=$\frac{2y}{3}$①
∵P（x₀，y₀）在圓上，
∴x₀²+y₀²=4②
將①代入②得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）．
∴動點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）；
（2）假若存在k的值，使以AB為直徑的圓過E點．
由直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡得：（9+4k²）x²+16kx-20=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+9}$，x₁•x₂=-$\frac{20}{4{k}^{2}+9}$
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²（x₁•x₂）+2k（x₁+x₂）+4
要使以AB為直徑的圓過M點，當且僅當EA⊥EB，即y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0時滿足條件
∴（k²+1）（x₁•x₂）+2（k+1）（x₁+x₂）+8=0
代入化簡得-20k²-32k+52=0
解得k=-$\frac{13}{5}$或1，
經(jīng)檢驗k=-$\frac{13}{5}$或1滿足條件，
綜上可知，存在k=-$\frac{13}{5}$或1使以AB為直徑的圓過E點．

點評 本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，橢圓的標準方程，熟練掌握橢圓的簡單性質是解答的關鍵．