Question

2．設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）x∈R的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf'（x）-f（x）＜0則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （0，1）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性與奇偶性，再畫出函數(shù)g（x）的大致圖象，結(jié)合圖形求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒小于0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴函數(shù)g（x）的大致圖象如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0等價(jià)于x•g（x）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1或x＜-1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．