【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點
(1)求證:EF⊥CD;
(2)在平面PAD內求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結論;
(3)求DB與平面DEF所成角的正弦值.

【答案】
(1)解:以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖),

設AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a, ,0)、F( , , )、P(0,0,a).

=(﹣ ,0, ), =(0,a,0),

=(﹣ ,0, )(0,a,0)=0,

∴EF⊥DC


(2)解:設G(x,0,z),則G∈平面PAD.

=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ ),

=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ )(a,0,0)=a(x﹣ )=0,∴x= ;

=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ )(0,﹣a,a)= +a(z﹣ )=0,∴z=0.

∴G點坐標為( ,0,0),即G點為AD的中點


(3)解:設平面DEF的法向量為 =(x,y,z).

得:

取x=1,則y=﹣2,z=1,

=(1,﹣2,1).

cos< >= = = ,

∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為


【解析】以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,可求出各點的坐標;(1)求出EF和CD的方向向量,根據(jù)向量垂直的充要條件,可證得 ,即EF⊥DC.(2)設G(x,0,z),根據(jù)線面垂直的性質,可得 = =0,進而可求出x,z值,得到G點的位置;(3)求出平面DEF的法向量為 ,及DB的方向 的坐標,代入向量夾角公式,可得DB與平面DEF所成角的正弦值

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