Question

【題目】如圖所示，MCN是某海灣旅游區(qū)的一角，為營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會(huì)決定建立面積為4 平方千米的三角形主題游戲樂園ABC，并在區(qū)域CDE建立水上餐廳．已知∠ACB=120°，∠DCE=30°．
（1）設(shè)AC=x，AB=y，用x表示y，并求y的最小值；
（2）設(shè)∠ACD=θ（θ為銳角），當(dāng)AB最小時(shí)，用θ表示區(qū)域CDE的面積S，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=x，AB=y，∠ACB=120°，

S△ABC= ACBCsin120°= =4 ，

∴BC= ．

△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos120°，

即y2=x2+ +16≥2 +16=48，

∴y≥4 ，當(dāng)且僅當(dāng)x2=16，即x=4時(shí)，取等號(hào)，

故當(dāng)x=4時(shí)，y取得最小值為4 ．

（2）解：設(shè)∠ACD=θ（θ為銳角），

當(dāng)AB最小時(shí)，x=AC=4=BC，AB=4 ，∠CAB=∠CBA=30°，

△ACD中，由正弦定理可得 = ，

∴CD= = = ，

△ACE中，由正弦定理可得CE= = = ，

根據(jù)區(qū)域CDE的面積S= CDCEsin30°= = ，

故當(dāng)2θ= ，即θ= 時(shí)，區(qū)域CDE的面積S取得最小值為 =8﹣4 ．

【解析】1、根據(jù)題意可設(shè)AC=x，AB=y利用余弦定理求得BC的值即得y的函數(shù)解析式再利用基本不等式求得y的最小值。
2、由題意可知在△ACD中根據(jù)正弦定理求得CD的值在△ACE中再根據(jù)正弦定理求得CE的值。根據(jù)區(qū)域CDE的面積S=,利用正弦函數(shù)的值域求得區(qū)域CDE的面積最小值。