Question

2．設(shè)P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與直線y=$\frac{a}$x的一個(gè)交點(diǎn)始終在第一象限，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），且m＞0，求出雙曲線的漸近線方程，求得以O(shè)P為直徑的圓的方程為x（x-m）+y（y-n）=0，代入y=$\frac{a}$x，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，討論當(dāng)n≥0時(shí)，x＞0顯然成立，當(dāng)n＜0時(shí)，運(yùn)用恒成立思想結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)P（m，n），且m＞0，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
以O(shè)P為直徑的圓的方程為x（x-m）+y（y-n）=0，
代入y=$\frac{a}$x，解得x=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$（m+$\frac{a}$n），
當(dāng)n≥0時(shí)，x＞0顯然成立，即有交點(diǎn)在第一象限；
當(dāng)n＜0時(shí)，m+$\frac{a}$n＞0恒成立，即為1+$\frac{a}$•$\frac{n}{m}$＞0，
由雙曲線的性質(zhì)可得$\frac{n}{m}$＞-$\frac{a}$，
可得1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≥0，即有a²≥b²=c²-a²，
即有c²≤2a²，即有e²≤2，
由e＞1可得1＜e≤$\sqrt{2}$．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓的方程和直線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，注意運(yùn)用恒成立思想以及雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．