Question

“抽卡有獎游戲”的游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“奧運福娃”或“奧運會徽”，要求參加游戲的4人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽2張，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2張“奧運福娃”卡才能得到獎并終止游戲．
（1）游戲開始之前，一位高中生問：盒子中有幾張“奧運會徽”卡？主持人說：若從盒中任抽2張卡片不都是“奧運會徽”卡的概率為

25

28

．請你回答有幾張“奧運會徽”卡呢？
（2）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4人參加游戲，約定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人獲獎終止游戲時總共抽取卡片的次數(shù)，求ξ的概率分布及ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)盒子中有“會徽卡”n張，依題意有，1-

C 2 n

C 2 8

=

25

28

，由此能求出盒中有“會徽卡”的張數(shù)．
（2）因為ξ表示某人一次抽得2張“福娃卡”終止時，所有人共抽取了卡片的次數(shù)，所以ξ的所有可能取值為1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能得到ξ的概率分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）設(shè)盒子中有“會徽卡”n張，
依題意有，1-

C 2 n

C 2 8

=

25

28

解得n=3，
即盒中有“會徽卡”3張．
（2）因為ξ表示某人一次抽得2張“福娃卡”終止時，所有人共抽取了卡片的次數(shù)，
所以ξ的所有可能取值為1，2，3，4，
P(ξ=1)=

C 2 5

C 2 8

=

5

14

；
P(ξ=2)=

C 2 3

C 2 8

•

C 2 5

C 2 6

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 2 4

C 2 6

=

2

7

；P(ξ=3)=

C 2 3

C 2 8

•

C 1 1 • C 1 5

C 2 6

•

C 2 4

C 2 4

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 2 2

C 2 6

•

C 2 4

C 2 4

+

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

•

C 2 3

C 2 4

=

3

14

；P(ξ=4)=

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

•

C 1 1 • C 1 3

C 2 4

•

C 2 2

C 2 2

=

1

7

，
ξ的概率分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	5 14	2 7	3 14	1 7

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

5

14

+2×

2

7

+3×

3

14

+4×

1

7

=

15

7

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．