Question

14．如圖，在多面體ABCDEF中，CDEF為矩形，ABCD為直角梯形，平行CDEF⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，ED=$\sqrt{3}$，M為線段EA上動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若M為EA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）線段EA上是否存在點(diǎn)M，使平面MDF與平面ABCD所成的銳二面角大小為$\frac{π}{3}$？若存在，求出AM的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)CE交DF于O，則OM∥AC，由此能證明AC∥平面MDF．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)AM=（2$\sqrt{3}$-3）AE時(shí)，平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)CE交DF于O，
∵CDEF為矩形，∴O為CE中點(diǎn)，
又M為EA中點(diǎn)，∴OM∥AC，
又AC?平面MDF，OM?平面MDF，
∴AC∥平面MDF．
解：（Ⅱ）假設(shè)線段EA上存在點(diǎn)M，使平面MDF與平面ABCD所成的銳二面角大小為$\frac{π}{3}$．
理由如下：
∵平面CDEF⊥平面ABCD，
在矩形CDEF中，ED⊥DC，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴ED⊥AD，
又CD⊥AD，∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（0，2，$\sqrt{3}$），
由題意知M，E重合時(shí)不符合，設(shè)$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AE}$，（0≤λ＜1），
則M（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DM}$=（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，$\sqrt{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DMF的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=（1-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}λ}{λ-1}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
又ED⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵線段EA上存在點(diǎn)M，使平面MDF與平面ABCD所成的銳二面角大小為$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}λ}{λ-1}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=2\sqrt{3}-3$∈[0，1]，或$λ=-（2\sqrt{3}+3）∉$[0，1]，（舍去），
∴當(dāng)AM=（2$\sqrt{3}$-3）AE時(shí)，平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$，
此時(shí)AM=4$\sqrt{3}-6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．