Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2

3

π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求此時f（x）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)已知周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（Ⅱ）由ω的值確定出f（x）解析式，利用余弦定理表示出cosx，將b²=ac代入并利用基本不等式求出cosx的范圍，確定出x的范圍，利用正弦函數(shù)的性質即可求出f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵ω＞0，函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=

2π

3

，
∴ω=

3

2

，此時f（x）=sin（3x-

π

6

）-

1

2

；
（Ⅱ）由題意得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

，
將b²=ac代入得cosx=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

（當且僅當a=c時取等號），
∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

＜3x-

π

6

≤

5π

6

，即-

1

2

＜sin（3x-

π

6

）≤1，
∴-1＜sin（3x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
則f（x）的值域為（-1，

1

2

]．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．