Question

某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間，分別位于邊長是1km的等邊三角形ABC的頂點A、B處（如圖），現(xiàn)要在邊AC上的D點建一倉庫，某工人每天用叉車將生產(chǎn)原料從倉庫運(yùn)往車間，同時將成品運(yùn)回倉庫．已知叉車每天要往返A(chǔ)車間5次，往返B車間20次，設(shè)叉車每天往返的總路程為skm．（注：往返一次即先從倉庫到車間再由車間返回倉庫）
（Ⅰ）按下列要求確定函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)AD長為x，將s表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠ADB=θ，將s表示成θ的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中一個合適的函數(shù)關(guān)系式，求總路程s的最小值，并指出點D的位置．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）①是借助余弦定理將BD用x表示出來，然后根據(jù)s的實際意義利用x表示出來，但同時也應(yīng)注意自變量x的取值范圍；②借助正弦定理將AD、BD的長度用θ表示出來，然后將s利用以θ為自變量的函數(shù)表示出來，并注意自變量θ的取值范圍；（Ⅱ）選擇②中的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求極值，從而確定s的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）①在△ABC中，AB=1，AD=x，∠BAD=

π

3

，由余弦定理，BD²=x²-x+1，
所以s=10x+40

x2-x+1

（0≤x≤1）．      3分

②在△ABC中，AB=1，∠BAD=

π

3

，∠ADB=θ，
∴∠ABD=

2π

3

-θ
由正弦定理得AD=

sin( 2π 3 -θ)

sinθ

=

3 cosθ

2sinθ

+

1

2

，BD=

3

2sinθ

，
則s=10（

3 cosθ

2sinθ

+

1

2

）+40×

3

2sinθ

=

5 3 (4+cosθ)

sinθ

+5（

π

3

≤θ≤

2π

3

）．      6分
（Ⅱ）選用（Ⅰ）中的②的函數(shù)關(guān)系式，s=

5 3 (4+cosθ)

sinθ

+5（

π

3

≤θ≤

2π

3

），
s′=-

5 3 (4cosθ+1)

sin2θ

，
由s′=0得，cosθ=-

1

4

，記cosθ₁=-

1

4

，
則當(dāng)θ∈（

π

3

，θ₁）時，cosθ＞-

1

4

，s′＜0；當(dāng)θ∈（θ₁，

2π

3

）時，cosθ＜-

1

4

，s′＞0；
所以當(dāng)cosθ=-

1

4

，時，總路程s最小值為15

5

，
此時sinθ=

15

4

，AD=

5- 5

10

，
答：當(dāng)AD=

5- 5

10

km時，總路程s最小，最小值為15

5

+5km．         13分

點評：本題考查正弦定理、余弦定理、函數(shù)的極值與最值，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．