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5.在等腰△ABC中,已知BC=4,∠BAC=120°,若點P是BC邊上的動點,點E滿足BE=3EC,則APAE的最大值和最小值之差是4.

分析 由題意可得ABBC=43432=-8,BP=λ•BC,0≤λ≤1,計算 APAE=(AB+BP)•(AB+BC)為4λ-23,0≤λ≤1,從而求得它的最大值和最小值,從而得出結(jié)論.

解答 解:∵三角形ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°,
∴AB=43,∠ABC=30°,
ABBC=43432=-8.
BE=3EC,∴BE=34BC,∴BP=λ•BC,0≤λ≤1,
APAE=(AB+BP)•(AB+BC
=AB2+λ•ABBC+34BC2+3•ABBC4
=163-8λ+12λ+34•(-8)=4λ-23,0≤λ≤1,
故當λ=0時,APAE 取得最小值為-23,當λ=1時,APAE 取得最大值為103
故則APAE的最大值和最小值之差是103+23=4,
故答案為:4.

點評 本題考查了平面向量的運用算,向量的分解合成,數(shù)量積的運用,屬于中檔題,關鍵是轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的向量求解.

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