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17.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點.
求證:(1)AP∥平面C1MN;
(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.

分析 (1)推導出四邊形AMC1P為平行四邊形,從而AP∥C1M,由此能證明AP∥平面C1MN.
(2)連結AC,推導出MN⊥BD,DD1⊥MN,從而MN⊥平面BDD1B1,由此能證明平面B1BDD1⊥平面C1MN.

解答 證明:(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1
∵M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點,
∴AM=PC1,
又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1
∴四邊形AMC1P為平行四邊形,
∴AP∥C1M,
又AP?平面C1MN,C1M?平面C1MN,
∴AP∥平面C1MN.
(2)連結AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD,
又M、N分別為棱AB、BC的中點,∴MN∥AC,
∴MN⊥BD,
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,
又MN?平面ABCD,∴DD1⊥MN,
而DD1∩DB=D,DD1、DB?平面BDD1B1,
∴MN⊥平面BDD1B1,
又MN?平面C1MN,∴平面B1BDD1⊥平面C1MN.

點評 本題考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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