Question

如圖，A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線l是橢圓的右準(zhǔn)線．
（1）若橢圓C的離心率為

1

2

，直線l：x=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰好過原點(diǎn)，求橢圓C的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由e=

1

2

，右準(zhǔn)線l的方程為x=4，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意，可得A，M，P三點(diǎn)共線，MQ⊥PQ，由此可得幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答： 解：（1）由題意：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，
∴c=1，a=2，b=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（（2）設(shè)M（x，y），P（

a2

c

，β），
∵A，M，P三點(diǎn)共線，
∴

y

x+a

=

β

a2 c +a

，
∴β=

y( a2 c +a)

x+a

，…（9分）
由MP為圓的直徑，故OP⊥BM，
即-1=k_OPk_BM=

cy( a2 c +a)

a2 (x+a)

•

y

x-a

=

y2(a+c)

a (x2-a2)

=

b2(a+c)

-a3

=

(a2-c2)(a+c)

-a3

，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，
解得e=

5 -1

2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．