Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明．
（2）解不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）．
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)a、b∈[-1，1]，且a＜b，結(jié)合a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，可判斷出f（a）＜f（b），進(jìn)而得到f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論將原不等式轉(zhuǎn)化為-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1，解得答案；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，則m²-2am+1≥1，對a∈[-1，1]恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g（a）=-2ma+m²，可得：

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，解得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)a、b∈[-1，1]，且a＜b，
則a-b＜0，

f(a)+f(-b)

a-b

＞0
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

（a-b）＜0，
可知f（a）＜f（b），
所以f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．…（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：
不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）可化為：-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1
解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集為[-

1

4

，

1

2

]…（8分）
（3）因為f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
所以f（x）≤f（1）=1，即1是f（x）的最大值．
若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
則有m²-2am+1≥1，對a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的圖象是一條線段，
那么

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
解得：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．