在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=1,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).求點(diǎn)E到平面A1DC1的距離.
分析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,可得D、E、A1、C1各點(diǎn)的坐標(biāo),從而算出的坐標(biāo)
DA1
、
DC1
DE
的坐標(biāo),利用垂直的向量數(shù)量積為零的方法算出
n
=(-1,-
1
2
,1)
是平面DA1C1的一個(gè)法向量,再利用點(diǎn)到平面的距離公式,即可算出點(diǎn)E到平面A1DC1的距離.
解答:解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DD1依次為x、y、z軸,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,可得E(1,1,0),
A1(1,0,1),C1(0,2,1).
從而
DA1
=(1,0,1)
,
DC1
=(0,2,1)
,
DE
=(1,1,0)

設(shè)平面DA1C1的法向量為
n
=(x,y,z)
,
n
DA1
=0
n
DC1
=0
,得
x+z=0
2y+z=0

令x=1,得
n
=(-1,-
1
2
,1)
,
∴點(diǎn)E到平面A1DC1的距離為d=
|
n
DE
|
|
n
|
=
|-1×1+(-
1
2
)×1+1×0|
(-1)2+(-
1
2
)
2
+12
=1.
點(diǎn)評:本題給出長方體的長、寬、高,求一條棱的中點(diǎn)到經(jīng)過頂點(diǎn)截面的距離.著重考查了長方體的性質(zhì)、點(diǎn)到平面垂直的求法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=
3
,AD=
3
,AA′=1,則AA′和BC′所成的角是( 。

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如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一個(gè)棱錐C-A′DD′,求棱錐C-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

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(2009•青浦區(qū)二模)(理)在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.
求:
(1)頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離;
(2)二面角B-AC-B'的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

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精英家教網(wǎng)已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn),AB=BC=2,CC′=1.
(Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn),求二面角P-BD-E的余弦值.

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