Question

14．當(dāng)-1≤x≤a（a＞-1）時(shí)，求函數(shù)y=-x（x-a）的最大值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過討論對(duì)稱軸的位置，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其最大值即可．

解答 解：y=-x²+ax=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
對(duì)稱軸為：x=$\frac{a}{2}$，
有兩種情況：
①當(dāng)a≤0時(shí)，-1＜a＜$\frac{a}{2}$，
由于當(dāng)x＜$\frac{a}{2}$時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，a]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=a時(shí)有最大值：y_max=-（a-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，-1＜$\frac{a}{2}$＜a，
由于函數(shù)圖象開口向下，
拐點(diǎn)x=$\frac{a}{2}$恰好在[-1，a]區(qū)間，
故x=$\frac{a}{2}$時(shí)有最大值：
y_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考察分類討論思想，是一道中檔題．