Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}+1，x≤0\\ m-{x^2}，x＞0\end{array}$，給出下列兩個命題：
命題p：若m=9，則f（f（-1））=0．
命題q：?m∈（-∞，0），方程f（x）=m有解．
（1）判斷命題p、命題q的真假，并說明理由；
（2）判斷命題￢p、p∧q、p∨q、p∧（￢q）的真假．

Answer 1

分析 （1）若m=9，則f（f（-1））=f（3）=0，故命題p為真命題，結合已知分段函數的解析式，求出函數值的范圍，可得命題q為假命題；
（2）結合（1）中結論，結合復合函數真假判斷的真值表，可得答案．

解答 解：（1）若m=9，則f（f（-1））=f（3）=0，故命題p為真命題．…（2分）
當x≤0時，f（x）=2^-x+1≥2，
當x＞0時，f（x）=m-x²＜m．
故m∈（-∞，0），方程f（x）=m無解，
故命題q為假命題；…（6分）
（2）故命題￢p為假命題、
p∧q為假命題、
p∨q為真命題、
p∧（￢q）為真命題…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數的值，難度中檔．